나비에-스토크스 "폭발" — AI는 무엇을 증명했고, 왜 외력이 필요했나

실험: python 딥러닝/daily/2026-09-13_navier_stokes_scaling.py (수 초~1분) 글의 수치는 전부 그 스크립트를 돌려 얻은 것이다. 사건 내용은 2026년 9월 13일까지의 보도·원문으로 교차 확인했고, OpenAI의 증명은 발표 단계이며 독립 검증은 아직 끝나지 않았다.

1. 무슨 일이 있었나

2026년 9월 8일, OpenAI가 내부 AI 시스템이 나비에-스토크스 방정식이 유한 시간에 깨질 수 있다는 증명을 만들었다고 발표했다. 밀레니엄 문제 7개 중 하나다.

항목	내용
에이전트	내부 모델 기반 약 1만 개를 동시에 돌렸다. 그룹으로 나뉘어 소통하고, 인터넷 캐시와 코드 실행을 썼다
시간	9월 1일 시작 → 88시간 만인 9월 5일에 도달
규모	메시지 약 270만 개, 출력 토큰 약 1,300억 개, 원고 166쪽
검증	증명 검증기 Lean 으로 형식화하는 데 추가 17시간 (GPT-6 아스트라 사용)

같은 날 논란도 붙었다. 하루 앞선 9월 7일, 뉴욕대 버크마스터(Tristan Buckmaster)와 Anthropic 소속 알푀게(Levent Alpöge)가 같은 계열의 방법으로 점성이 없는 유체 방정식들의 폭발을 증명한 논문 세 편을 공개했기 때문이다. 버크마스터는 함께 올린 성명에서, OpenAI가 연락해 와 내부 모델이 외력이 있는 나비에-스토크스의 폭발 증명(약 100쪽)을 만들었다고 알렸다는 경위를 적었다. 누구의 공로인지를 두고 다툼이 이어지고 있고, OpenAI는 상금은 청구하지 않겠다고 했다.

이 글은 논란보다 “그래서 무엇을, 어떻게 증명했나” 에 집중한다.

2. 방정식 읽기

나비에-스토크스 방정식은 유체 한 방울에 대한 뉴턴의 법칙( $F = ma$ ) 이다.

\begin{aligned} \underbrace{\frac{\partial u}{\partial t}}_{\text{가속}} + \underbrace{(u \cdot \nabla) u}_{\text{흐름에 휩쓸림}} &= \underbrace{\nu \Delta u}_{\text{끈적임}} - \underbrace{\nabla p}_{\text{압력}} + \underbrace{f}_{\text{외력}} \\ \nabla \cdot u &= 0 \end{aligned}

기호	뜻	비유
$u(x,t)$	위치 $x$ , 시각 $t$ 의 속도	물방울 하나하나의 화살표
$(u\cdot\nabla)u$	흐름이 자기 자신을 싣고 가는 효과	강물이 소용돌이를 떠내려 보내며 비트는 것
$\nu$	점성 (0이면 오일러 방정식)	꿀은 크고 물은 작다
$\Delta u$	주변 평균과의 차이	튀는 값을 이웃과 비슷하게 누그러뜨림
$p$	압력	물방울끼리 밀어내는 힘
$f$	외력	밖에서 휘젓는 손
$\nabla \cdot u = 0$	비압축	눌러도 부피가 줄지 않음

“깨진다(폭발, blow-up)” 는 처음엔 매끄럽던 속도가 유한한 시각에 어딘가에서 무한대가 되는 것이다.

3. 정확히 무엇을 증명했나 — 클레이 원문으로 따지기

클레이 연구소의 공식 문제 설명(Fefferman)은 네 문장 중 하나만 증명하면 된다고 적혀 있다. 원문을 확인했다.

조항	요구하는 것	외력
(A) · (B)	해가 언제나 매끄럽게 존재한다 (공간 전체 · 주기 공간)	$f = 0$ 으로 고정
(C) · (D)	해가 깨지는 예가 존재한다 (공간 전체 · 주기 공간)	조건을 만족하는 매끄러운 $f$ 허용

“물리적으로 말이 되는” 조건은 네 가지다.

(4) 처음 속도는 매끄럽고, 멀어질수록 아주 빠르게 0이 된다
(5) 외력도 매끄럽고, 멀어지거나 시간이 흐를수록 아주 빠르게 0이 된다
(6) 해는 모든 시각에 매끄럽다
(7) 에너지 $\int \lvert u \rvert^2\,dx$ 가 계속 유한하다

OpenAI가 발표한 정리를 여기에 대입해 보자.

OpenAI 의 구성	해당 조건
처음에 유체가 정지해 있다	(4) 만족
외력은 매끄럽고, 정해진 공간·시간 안에서만 작용한다	(5) 만족
운동에너지는 끝까지 유한하다	(7) 유지
그런데 속도가 유한 시각에 무한대가 된다	(6)이 깨진다 → (C)·(D)

그러니 일부 보도의 “외력을 썼으니 상금 대상이 아니다”는 틀린 설명이다. (C)·(D)는 원래 외력을 허용한다.

다만 함정이 있다. (C)가 참이어도 (A)는 뒤집히지 않는다. (A)는 “외력이 없으면 언제나 매끄럽다”이고, (C)는 “잘 설계한 외력이 있으면 깨질 수 있다”라서 둘은 동시에 참일 수 있다. 증명이 맞다면 상금 조건은 채우지만, 물리학자가 정말 궁금해하는 “외력 없이 유체가 스스로 깨지는가”는 여전히 열려 있다.

4. 왜 이렇게 어려운가 ① — 조이면 무엇이 변하나

폭발이 일어나려면 휩쓸림이 점성을 끝까지 이겨야 한다.

휩쓸림 $(u\cdot\nabla)u$ 는 에너지를 점점 작은 크기로 몰아간다 — 큰 소용돌이가 잘게 쪼개지는 난류.
점성 $\nu\Delta u$ 는 작은 크기의 요동을 지운다. 크기가 작을수록 더 세게 지운다.

이 줄다리기의 성격은 크기 바꾸기(스케일링) 로 드러난다. 해 $u$ 를 $\lambda$ 배로 조인

u_\lambda(x,t) = \lambda\, u(\lambda x,\ \lambda^2 t)

도 (외력을 같은 방식으로 바꾸면) 다시 해가 된다. 이때 무엇이 어떻게 변하는지 계산하면

\begin{aligned} \text{최대 속도} &\propto \lambda \\ \text{에너지} &= \int \lvert u_\lambda \rvert^2 dx = \lambda^{2-3} \int \lvert u \rvert^2 dx \propto \frac{1}{\lambda} \\ \mathrm{Re} &= \frac{U \cdot \ell}{\nu} = \frac{\lambda \cdot (1/\lambda)}{\nu} = \text{일정} \end{aligned}

기호	뜻
$\lambda$	조임 배율. 크기를 $1/\lambda$ 로 줄인다
$U$ , $\ell$	대표 속도, 대표 크기 (여기서는 소용돌이의 폭)
$\mathrm{Re}$	레이놀즈 수. 휩쓸림 대 점성의 세력비. 크면 휩쓸림 우세

직접 재 보기 A

실제 3차원 소용돌이(스트림 함수 $\psi = e^{-(x^2+y^2)/a^2 - z^2/b^2}$ 의 회전, 발산이 정확히 0)를 격자에 올려 조임 배율마다 쟀다. 점성 $\nu = 0.01$ .

조임에 따른 속도·에너지·레이놀즈 수

조임 $\lambda$	1	2	4	8	16	기울기
최대 속도	0.856	1.712	3.424	6.849	13.697	+1.000
에너지	1.969	0.984	0.492	0.246	0.123	-1.000
최대 소용돌이도	3.94	15.75	62.99	251.95	1007.81	+2.000
순환	4.599	4.599	4.599	4.599	4.599	0
레이놀즈 수	85.61	85.61	85.61	85.61	85.61	0

두 가지를 읽을 수 있다.

조일수록 속도는 커지는데 에너지는 줄어든다. 3차원이라서 그렇다. 그러니 “에너지는 유한한데 속도는 무한대”가 원리적으로 가능하고, 에너지 보존만으로는 폭발을 막을 수 없다. 이것이 3차원 나비에-스토크스가 풀리지 않는 이유다.
레이놀즈 수는 조여도 꿈쩍하지 않는다. 휩쓸림도 점성도 같은 비율로 세지니, 모양을 유지하며 줄어드는 것만으로는 어느 쪽도 이기지 못한다. 실제로 1934년 르레(Leray)가 제안한 “모양을 유지하며 줄어드는 폭발해”는 1996년 네차스·루지치카·쉬베라크가 배제했다.

여기서 내 설명이 틀렸다

OpenAI는 폭발 메커니즘을 “폭이 길이보다 빨리 줄어드는, 안쪽으로 조여드는 소용돌이” 라고 소개했다. 나는 처음에 이것을 “모든 방향을 똑같이 줄이지 않고 한쪽으로 늘이면 레이놀즈 수의 교착이 깨진다”는 뜻으로 읽었다.

그래서 폭은 $1/\lambda$ , 길이는 $1/\sqrt{\lambda}$ 로 줄이는 “늘이기” 도 쟀다.

비교	모든 방향 똑같이	폭만 빨리 (늘이기)
최대 속도 기울기	+1.000	+1.000
에너지 기울기	-1.000	-0.500
최대 소용돌이도 기울기	+2.000	+2.000
레이놀즈 수	85.61 고정	85.61 고정

레이놀즈 수는 그대로였다. 늘이기가 바꾼 것은 에너지가 줄어드는 속도뿐이다. 이유는 순환 보존(켈빈 정리) 이다. 소용돌이를 늘여도 순환(소용돌이의 총량)이 보존되면, 소용돌이도는 폭의 제곱에 반비례해 커지고 점성이 지우는 속도 $\nu/\text{폭}^2$ 도 똑같이 커진다. 늘이기 혼자서는 줄다리기를 깨지 못한다. 교착을 깨는 것은 늘이기 자체가 아니라 그것을 밖에서 계속 키워 주는 무언가여야 한다 — 6장에서 잰다.

5. 왜 이렇게 어려운가 ② — 1차원 줄다리기

같은 줄다리기를 가장 단순한 1차원 방정식에서 보자. 버거스 방정식이다.

u_t + u\,u_x = \nu\, u_{xx}, \qquad u(x,0) = \sin x

기호	뜻
$u_t$	시간에 따른 변화
$u\,u_x$	휩쓸림 — 빠른 곳이 느린 곳을 따라잡아 기울기가 가팔라진다
$\nu\,u_{xx}$	점성 — 가파른 곳을 누그러뜨린다

점성이 없으면( $\nu=0$ ) 정확한 답이 알려져 있다. 가장 가파른 기울기가 $1/(1-t)$ 로 자라 $t=1$ 에 무한대가 된다.

직접 재 보기 B

스펙트럼 방법(격자 4,096점)으로 풀었다.

버거스 방정식의 기울기

점성 0: $t=0.95$ 에서 최대 기울기 20.00, 정확한 답 $1/(1-0.95)=20.00$ 과 일치. $t=1$ 로 가면 무한대다.
점성이 있으면 기울기가 어딘가에서 막힌다.

점성 $\nu$	0.08	0.04	0.02	0.01	0.005
막히는 높이 (최대 기울기)	4.81	10.78	23.31	48.38	98.41
참고: $1/(2\nu)$	6.2	12.5	25.0	50.0	100.0

점성이 작을수록 더 높이 올라가지만(로그 기울기 -1.09, 대략 $1/\nu$ 에 비례) 끝은 있다. 1차원에서는 점성이 언제나 이긴다는 것이 증명돼 있다. 3차원이 어려운 것은 4장에서 본 대로 조일수록 에너지가 줄어들어서, 점성이 기댈 “에너지 예산”이 작은 크기에서 힘을 잃기 때문이다.

6. 늘이기 대 점성 — 밖에서 조임을 키우면

소용돌이를 바깥 흐름이 옆에서 조이고 축 방향으로 늘이는 상황을 보자(조임률 $\gamma$ ). 축대칭 소용돌이도 $\omega(r,t)$ 는 이렇게 변한다.

\begin{aligned} \omega_t &= \frac{1}{r}\,\frac{\partial}{\partial r}\!\left[\, r \left( \frac{\gamma r}{2}\,\omega + \nu\,\omega_r \right) \right] \\ &= \underbrace{\gamma\,\omega}_{\text{늘이기로 세짐}} + \underbrace{\frac{\gamma r}{2}\,\omega_r}_{\text{안쪽으로 조임}} \\ &\quad + \underbrace{\nu\left(\omega_{rr} + \frac{\omega_r}{r}\right)}_{\text{점성으로 퍼짐}} \end{aligned}

기호	뜻
$\omega$	소용돌이도 — 그 자리에서 유체가 도는 세기
$\gamma$	조임률 — 바깥 흐름이 얼마나 세게 조이고 늘이나
$\Gamma = \int 2\pi r\,\omega\,dr$	순환 — 소용돌이의 총량. 이 식에서 정확히 보존된다

조임이 일정하면 정확한 정상해(버거스 소용돌이)가 알려져 있다.

\omega_{\max} = \frac{\Gamma\,\gamma}{4\pi\nu}, \qquad \text{핵 반지름} \approx \sqrt{\frac{4\nu}{\gamma}}

직접 재 보기 C

조임과 소용돌이

조임이 일정할 때 ( $\nu=0.01$ , $\Gamma=1$ )

조임률 $\gamma$	0.5	1	2	4	8
잰 최대 소용돌이도	3.95	7.87	15.67	31.13	61.69
이론값	3.98	7.96	15.92	31.83	63.66
잰 핵 반지름	0.2838	0.2013	0.1438	0.1013	0.0737
이론값	0.2828	0.2000	0.1414	0.1000	0.0707
순환	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000

더 세게 조이면 소용돌이는 더 가늘고 더 세지지만, 멈춘다. 늘이기와 점성이 비긴다. 4장의 결론과 같다.

조임을 밖에서 계속 키우면 — 조임률을 $\gamma(t) = 1/(1-t)$ 로 올렸다.

시각 $t$	0	0.982
조임률 $\gamma$	1	55.6
최대 소용돌이도	3.54	68.3
순환	1.0000	1.0000

순환은 그대로인데 최대 소용돌이도는 $t\to1$ 에서 발산하는 추세다(마지막 구간 로그 기울기 -0.79. 정상해를 그대로 따라가면 -1 인데, 소용돌이가 조임을 따라잡는 데 시간이 걸려 조금 늦는다).

밖에서 조임을 계속 키워 주면 점성을 이긴다. 폭발 증명에서 외력이 하는 역할이 이것과 닮았다 — 교착을 깨는 힘을 바깥에서 공급한다. 다만 이 조임 흐름은 에너지가 무한한 흐름이라 클레이 조건을 만족하지 않는다. 비유이지 증명의 축소판이 아니다.

처음 짠 코드는 이 식을 보존형이 아닌 꼴로 적어서, 해석적으로는 정확히 보존돼야 할 순환이 조임이 셀수록 1.10 → 1.36 으로 늘었고 그만큼 소용돌이도가 부풀었다. 칸 경계의 흐름양을 한 번만 계산해 양쪽이 주고받게 하는 보존형으로 바꾸자 순환이 1.0000 으로 고정되고 이론값과 1~3% 안으로 맞았다.

7. 방법의 뿌리 — 코르도바–마르티네스-소로아 프로그램

OpenAI와 버크마스터·알푀게 두 팀 모두 스페인의 코르도바(Diego Córdoba)와 마르티네스-소로아(Luis Martínez-Zoroa)가 2023년부터 개척한 접근을 썼다(MIT Technology Review). AI가 새 알고리즘을 발명한 것이 아니다.

7.1 모양을 유지하는 대신 “층층이 쌓기”

2023년 논문의 핵심은 자기유사(모양을 유지하며 줄어듦)를 버린 것이다.

소용돌이가 있는 영역을 무한히 많이 두고, 그 사이를 소용돌이가 없는 영역으로 떼어 놓아 폭발을 쌓는다.

점점 작아지는 러시아 인형처럼, 크기별로 층을 둔다.

7.2 외력으로 층을 설계하기

테렌스 타오가 이 방법을 해설한 내용을 식으로 옮기면(개략) 이렇다.

외력 $f_{\text{lo}}$ 가 있는 배경 해 $u_{\text{lo}}$ 에서 출발한다.
더 작은 크기의 보정 $u_{\text{hi}}$ 를 얹되, 필요한 외력이 거의 늘지 않게 한다.

N(u_{\text{lo}} + u_{\text{hi}}) - N(u_{\text{lo}}) \approx 0

여기서 $N(u)$ 는 방정식의 좌변에서 우변을 뺀 것, 즉 “그 $u$ 를 해로 만들려면 필요한 외력”이다. 3. 배경을 불안정하게 설계해서, 처음엔 지수적으로 작던 보정이 폭발 시각 근처에서 크게 자라게 한다. 4. 이를 무한히 반복해 극한을 취한다.

u = \sum_{k} u_k \quad (\text{크기 } \ell_k \to 0,\ \text{시각 } T_k \to T), \qquad f = \sum_{k} f_k

층이 쌓일수록 속도 기울기는 발산하는데, 층마다 필요한 외력은 충분히 빨리 작아져 $f$ 는 끝까지 매끄럽게 수렴한다. 6장에서 본 “밖에서 키워 주는 조임”을, 에너지가 유한하고 매끄러운 외력으로 정교하게 설계한 것이라고 보면 된다.

연구	한 줄 요약
Córdoba · Martínez-Zoroa · Zheng (2023), 3차원 오일러	자기유사가 아닌 다층 소용돌이 폭발 메커니즘을 처음 제시
Córdoba · Martínez-Zoroa (2024), 2차원 다공성 매질(IPM)	매끄럽고 유한한 영역에서만 작용하는 소스로 유한 에너지 해가 폭발
Córdoba · Laín-Sanclemente · Martínez-Zoroa (2025), 2차원 부시네스크	무한히 이어진 “퇴화 진자” 층과 깜빡이는 밀도가 소용돌이에 이력을 누적시켜 폭발
버크마스터 · 알푀게 (2026년 9월 7일)	IPM(시간·공간 모두 매끄러운 외력), 부시네스크, 3차원 오일러로 확장. Lean 검증. 점성이 없는 방정식들이다
OpenAI (2026년 9월 8일)	같은 프로그램을 점성이 있는 나비에-스토크스까지. 조여드는 소용돌이 + 진동 펄스와 보정으로 외력을 매끄럽게 유지

8. 헷갈리기 쉬운 다른 갈래

“AI가 유체의 특이점을 찾았다”는 소식은 두 번 나왔다. 서로 다른 갈래다.

갈래	방식	외력	대표 연구
모양을 찾기	폭발 직전의 모양 $U$ 를 찾는다: $u = (T-t)^{-1/2}\,U\big(x/\sqrt{T-t}\big)$	없음	딥마인드 외, 불안정 특이점의 발견 (2025) — 물리 정보 신경망(PINN)으로 부시네스크 등에서 불안정 폭발해를 기계 정밀도로 찾음
층층이 쌓기	크기별 층을 반복해 쌓고 외력을 설계한다	있음	코르도바 계열 → 버크마스터·알푀게 → OpenAI
모형 방정식	비선형 항을 평균 낸 가짜 나비에-스토크스	없음	타오 (2014) — 에너지 보존만 지키는 모형은 폭발할 수 있음 → 진짜 방정식은 세부 구조가 관건

9. 흔한 오해와 한계

“AI가 새 알고리즘을 발명했다” — 아니다. 2023년부터 쌓인 수학 전략을 대규모 탐색·검증으로 밀어붙인 것이다.
“외력을 썼으니 무효” — 아니다. 클레이 문제 (C)·(D)는 조건을 갖춘 외력을 원래 허용한다.
“유체가 스스로 폭발한다는 게 증명됐다” — 아니다. 외력이 없는 경우((A)·(B))는 그대로 열려 있다. 프린스턴의 팔라섹(Stan Palasek)이 외력을 없애는 데 걸림돌이 될 수 있는 지점을 지적했다는 보도도 있다.
Lean 검증의 함정 — Lean 은 “증명이 그 정리를 증명하는가”는 기계적으로 보장하지만, “그 정리가 클레이 (C)와 같은 말인가”는 보장하지 않는다. 형식화된 문장의 조건이 원문 (4)~(7)과 정확히 같은지는 사람이 대조해야 한다. 명세 게이밍 편에서 본 명세 게이밍과 같은 구조다.
독립 검증 전 — OpenAI 저장소의 검증은 “자체 평가” 단계이고 외부 재현은 아직 보고되지 않았다. 클레이 연구소는 동료 심사를 거친 출판을 요구한다.
이 글의 실험 — 증명을 재현한 것이 아니다. 증명이 이겨야 했던 줄다리기의 재료(스케일링, 점성의 한계, 늘이기와 조임)를 축소 모형으로 잰 것이다.

10. 한 문단 요약

OpenAI가 발표한 증명은 “처음엔 정지한 유체에, 정해진 시공간 안에서만 작용하는 매끄러운 외력을 가하면, 에너지는 유한한 채로 속도가 유한 시각에 무한대가 된다” 는 것이다. 클레이 문제는 이런 외력을 허용하는 (C)·(D) 판본을 원래 포함하므로, 맞다면 상금 조건을 채운다. 하지만 외력 없이 스스로 깨지는가라는 (A)·(B)는 그대로 열려 있다. 왜 어려운지는 재 보면 드러난다 — 3차원에서 소용돌이를 16배 조이면 속도는 16배가 되는데 에너지는 16분의 1로 줄어 에너지 보존이 폭발을 막지 못하고, 동시에 레이놀즈 수는 85.61로 꿈쩍하지 않아 휩쓸림과 점성이 비긴다. 나는 “폭이 길이보다 빨리 줄면 교착이 깨진다”고 생각했는데 틀렸다 — 순환이 보존되는 한 늘이기도 레이놀즈 수를 바꾸지 못했다. 조임이 일정한 소용돌이는 이론값과 1~3% 안에서 균형에 멈췄고, 조임을 밖에서 키우자 순환을 지킨 채 소용돌이도가 3.5에서 68로 치솟았다. 교착을 깨는 것은 바깥에서 공급하는 힘이고, 코르도바–마르티네스-소로아의 방법은 그 힘을 에너지가 유한하고 매끄러운 외력으로, 점점 작아지는 소용돌이 층마다 설계해 쌓는 것이다. AI는 그 전략을 1만 개 에이전트로 점성 있는 방정식까지 밀어붙였고, 이제 사람이 검증할 차례다.