시계열 분석 — ARIMA 를 세 글자로 읽기

그 전에 — 분할표

시계열로 가기 전, 교차 분석에 쓰는 분할표(Contingency table)를 정리해 둔다.

	하는 일
사전 설계	미리 그룹을 정한다. 결과 케이스별 결론을 앞서 정해 둔다. 실험군 대 대조군 교차 분석이고, 비율의 기준은 그룹별 자료 수다
사후 설계	변수 간 상관관계를 전체 자료 수 기준으로 비율을 뽑는다. 교차분석으로 독립성을 검증한다

기준이 그룹별 자료 수냐 전체 자료 수냐에 따라 같은 표에서 다른 결론이 나온다. 여기서 자주 틀린다.

정상 과정(Stationary Process)이란 평균과 분산이 시간에 따라 일정한 시계열이다.

ARIMA 를 포함한 대부분의 시계열 모형이 정상성을 전제한다. 이유는 단순하다 — 평균이 계속 변하는 데이터에서는 “평균으로 돌아온다”는 예측 자체가 성립하지 않는다.

	무엇을 보는가
ACF 자기상관함수	lag 1 은 한 시점 미룬 데이터와의 상관, lag 2 는 두 시점, lag 20 은 스무 시점
PACF 부분자기상관함수	중간 시점들의 영향을 걷어 낸, 직접적인 상관만

lag 3 의 ACF 가 높은 것은 lag 1 이 lag 2 에, lag 2 가 lag 3 에 영향을 준 결과일 수도 있다. PACF 는 그 사슬을 제거하고 3 시점 전이 지금에 직접 주는 영향만 남긴다.

상태	ACF · PACF 의 모습
비정상	특정 패턴을 보인다 (천천히 감소하는 등)
정상	불규칙하다 (빠르게 0 으로 떨어진다)

그래프의 모양으로 정상성을 눈으로 판정할 수 있다는 것이 이 두 함수를 그리는 이유다.

세 글자가 각각 다른 일을 한다.

AR 은 값을, MA 는 오차를 쓴다. 이 구분이 핵심이다.

특정 트렌드의 형태를 분리해 낸다. 보통 2차 이상은 하지 않는다 — 과도한 차분은 없던 구조를 만들어 낸다.

	뜻
1차분	한 시점 전 데이터와의 차. 각 다음 값의 변동값(Moving Range)
2차분	1차분을 한 번 더 차분한 것

$d$ 를 정하는 순서는 이렇다 — ACF/PACF 로 비정상임을 확인 → 1차분 → 다시 확인 → 아직 비정상이면 2차분.

여러 $(p, d, q)$ 조합 중 AIC 가 작을수록 유리하다. AIC 는 적합도에서 파라미터 수만큼 벌을 뺀 값이라, 무작정 복잡한 모형을 고르지 않게 해 준다.

주기가 있는 데이터(월별 매출, 요일별 트래픽 등)는 계절 성분을 따로 둔다. $\text{SARIMA}(p,d,q)(P,D,Q)_s$ 형태로, 뒤쪽 괄호가 주기 $s$ 에 대한 같은 구조다.

일반 ARIMA 로 계절 데이터를 다루면 차분 차수만 늘어나고 잘 맞지 않는다. 주기를 아는 데이터라면 그 정보를 모형에 직접 주는 것이 낫다.